Introducción al control¶
Control también está estrechamente relacionado con la informática, ya que prácticamente todos los algoritmos de control sistemas de ingeniería se implementan en software. Sin embargo, los algoritmos y el software de control pueden ser muy diferentes de los programas informáticos tradicionales debido al papel central de la dinámica del sistema y a la tiempo real de la implementación.
¿Qué es la realimentación?¶
El término retroalimentación se utiliza para referirse a una situación en la que dos (o más) sistemas dinámicos están conectados entre sí de tal manera que cada sistema influye en el otro y su dinámica está, por tanto, fuertemente acoplada. La simple rea es difícil porque el primer sistema influye en el segundo y el segundo influye en el primero. influye en el segundo y el segundo influye en el primero. circular. Esto dificulta el razonamiento basado en la causa y el efecto, y es necesario analizar el sistema en su conjunto. necesario analizar el sistema en su conjunto. Una consecuencia de ello es que el comportamiento de un sistema de retroalimentación suele ser contraintuitivo y, por tanto necesario recurrir a métodos formales para comprenderlos. -- Murray (enlace)
Ventajas de la realimentación¶
1. Robustes ante la incertidumbre¶
Analizando la diferencia entre el valor medido y el valor deseado, podemos tomar acciones correctivas. Cuando el sistema sufre cambios repentinos que afectan la señal regulada, sentimos el cambio y tratamos de forzar el sistema para que regrese a valor de operación deseado.
Ejemplo de control de velocidad de un vehículo¶
- ¿Qué pasa si el vehículo está por debajo de la velocidad deseada?
- ¿Qué pasa si el vehículo tiene más pasajeros?
Ventajas de la realimentación¶
2. Modificación de la dinámica del sistema¶
A traves de la realimentación podemos alterar el comportamiento del sistema para que cumpla ciertos requerimientos de una aplicación:
- Sistemas lentos que sean más reactivos
- Sistemas que derivan de su punto de operación sean más precisos
- Sistemas inestables que sean estables
Ejemplo de la importancia del control¶
En los inicios de la aviación¶
The difficulties which obstruct the pathway to success in flying-machine construction are of three general classes: (1) Those which relate to the construction of the sustaining wings; (2) those which relate to the generation and application of the power required to drive the machine through the air; (3) those relating to the balancing and steering of the machine after it is actually in flight. -- Wilbur WRIGHT (Some Aeronautical Experiments, 1901)$^1$
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Airbus A380 en condiciones extremas
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Dinámica del sistema¶
La dinámica de los sistemas en observación viene definida por la relación entre las entradas y las salidas. Una vez que un sistema continuo recibe una entrada, produce una salida continua que cambia con el tiempo. Esta salida pasa por dos estados diferentes: transitorio y estacionario . Durante el estado transitorio, la respuesta de salida varía a lo largo del tiempo hasta que alcanza el estado estacionario, lo que significa que la salida tiene un valor constante a lo largo del tiempo. Observe que el estado estacionario sólo se aplica a los sistemas estables y continuos.
Modelizado de la dinámica de un sistema¶
La dinámica del sistema se modela mediante un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. Para resolverlas fácilmente, se puede utilizar la transformada de Laplace que convierte la solución de estas ecuaciones diferenciales en más simples ecuaciones algebraicas lineales. Estas ecuaciones de Laplace pueden representar la relación causal entre la entrada y la salida, que se llamará "Función de Transferencia" y se representada gráficamente con un diagrama de bloques.
y representada matematicamente:
$$G(s)=\frac{\text{salida}}{\text{entrada}} = \frac{Y(s)}{U(s)}$$Modelizado de un sistema masa resorte¶
Para el modelizado realizamos diagrama de cuerpo libre y aplicado la segunda ley del movimiento de Newton
$$\Sigma f_x = m \frac{d^2x(t)}{dt^2}$$$$f(t) - k\,x(t) = m \frac{d^2x(t)}{dt^2}$$Modelizado de un sistema masa resorte¶
$$f(t) - k\,x(t) = m \frac{d^2x(t)}{dt^2}$$Teniendo la ecuación diferencial aplicamos tranformada de Laplace
$$F(s) - k\, X(s) = m \left(s^2 X(s) - s\,x(0) - \dot{x}(0)\right)$$$$F(s) = m s^2 X(s) + k\, X(s)$$De aquí despejamos la función de transferencia:
$$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2+k}$$Ejercicio¶
Encontrar la función de transferencia de un sistema masa-resorte-amortiguador
cuya ecuación diferencial es:
$$f(t) - k\,x(t) - b \frac{d x(t)}{dt}= m \frac{d^2x(t)}{dt^2}$$Función de transferencia
$$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2+bs+k}$$Ejercicios de identificación¶
Pensemos en la caché de un servidor web. Si se realiza una petición al sistema, éste busca primero en la caché el elemento solicitado y lo devuelve al usuario si lo encuentra. Sólo si no se encuentra el elemento, éste se recuperará del almacenamiento persistente. La caché puede contener un número finito de elementos, por lo que cuando un elemento se obtiene del almacenamiento persistente, sustituye al elemento más antiguo actualmente en la caché.
Identifiquemos las entradas y salidas
Ejercicios de identificación¶
En un sistema informático se requiere una refrigeración activa refrigeración activa mediante ventiladores para temperaturas de funcionamiento aceptables.
Identifiquemos las entradas y salidas del sistema